CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una sucesión de elementos que se considera en como ninguno, uno o más objetos. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, objetos, símbolos, subconjuntos, ningún elemento etc... Se dice que un elemento pertenece al conjunto si se define como un elemento dentro de el.

Ejemplo: El conjunto de las vocales

N={a,e,i,o,u}

CLASES DE CONJUNTOS

Conjunto universal

Con la intención de lograr claridad, cuando se define como conjunto, se de{be especificar de donde son tomados los elementos que lo forman. Eso se debe a que se tienen que tener bases (que son las que serán denominadas "conjunto universal" para elaborar los conjuntos, de los cuales se define el origen de los elementos. La representación del conjunto universal es: (U)

La siguiente imagen representa en amarillo lo que ese el conjunto universal (U)

 

Conjunto complemento

El conjunto complemento es una derivada del conjunto universal, ya que se toma lo  sobrante de los conjuntos ya armados a partir del conjunto universal, se representa con una "c" en forma de potenciación, ejemplo: 

Ejemplo: (teniendo en cuenta la parte amarilla como el conjunto complemento) Se representa geometricamente como:

Conjunto vacio

Este conjunto es considerado vació porque no tiene contenido ningún elemento, como el conjunto es vació, no podremos ubicar ningún elemento dentro por lo tanto una de las formas en las que se puede representar es:{}

Las dos formas en las cuales se pueden representar vació son:

Conjunto unitario

Este tipó de conjunto se caracteriza por tener un solo elemento sin importar de que tipo sea, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.

Algunos ejemplos de conjuntos unitarios son:

Conjunto finito

Es un conjunto en el que se sabe la cantidad de elementos que posee, por ejemplo el conjunto de las vocales, consonantes, colores del una bandera etc...

En la siguiente imagen veremos un ejemplo de conjunto finito (vocales):

Conjunto infinito

Son aquellos cuyo numero de elementos es incontable, no son fáciles de encontrar ejemplos en la naturaleza, sin embargo, son muy sencillos de encontrar con los números. Ejemplos: El conjunto de los números naturales, de los números enteros, de los números múltiplos de 5 etc...

En el siguiente ejemplo se muestra una representación gráfica de los números naturales (conjunto infinito)

Publicado por Jhoan Suarez

LOGARITMACIÓN

La logaritmación es aquella operación matemática en la cual, por medio de un número resultante, conocido como argumento y una base se tendrá que hallar el exponente al cual habrá que elevar la base y de esta forma conseguir el resultado. Por tal motivo se le conoce como el proceso inverso al de la potenciación.

• NOTACIÓN: Símbolo representativo, conocido como la abreviatura de logaritmo "log" y se ubica al principio del ejercicio.
• BASE: Es el número que se multiplico una cantidad de veces hasta obtener el argumento.
• ARGUMENTO: Número obtenido por la cantidad de veces que se multiplico la base.
• LOGARITMO: Es el resultado del ejercicio, aquel número que representa la cantidad de veces que se multiplico la base.

Esto se lee: "Logaritmo en base B de A es igual a C"

PROPIEDADES DE LA LOGARITMACIÓN 

EJEMPLOS:

Publicado por Juliana Mantilla

FACTORIZACIÓN

La factorización es un problema que ha sido muy importante para los matemáticos. Se centra en la solución de los diferentes problemas con coeficientes racionales, básicamente consiste en la descomposición de una expresión matemática que pueden llegar a ser sumas, restas, polinomios, matrices etc... La facorizacion es me mucha importancia para la solución de problemas y surge a partir de la necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado.

Que son los factores?

Se le llama factor a cada uno de los elementos de la multiplicación.

a.b=c

a,b (factores)

a es un factor también llamado multiplicando 

b es un factor también llamado multiplicador

c es el producto resutado de la multiplicación 

CASOS DE FACTORIZACIÓN

A continuación veremos los diferentes casos de factorización 

CASO 1

Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común.

En las expresiones algebraicas se usan exponentes naturales de variables, constan de un solo termino sese posee + ó - seria un binomio. El producto y las potencias en letras son las únicas operaciones  de exponentes. Se toma como polinomio a la suma de binomios, un monomio es una tipo de polinomio pero solo con un termino.

Ejemplo 1:

                                                        

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 2

Factor común por agrupación de términos.

Al manejar los polinomios por agrupación de términos se tiene que tener en cuenta que son dos las características que se repiten. Se identifican por que son un número par de términos.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 3

Trinomio cuadrado perfecto

Es básicamente el cuadrado del binomio. Se denomina al polinomio de tres términos, tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro termino es el doble del producto de la base de sus cuadrados. 

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 4

Diferencia de cuadrados perfectos 

Es característico por tener dos términos elevados al cuadrado unido por el signo menos (-). se resuelve por medio de dos paréntesis, en los paréntesis deben colocarse raíces. 

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: 

CASO 5

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 

Algunos de los trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y el tercer termino  tiene raíz cuadrada perfecta pero el de la mitad no es el doble del producto y la cantidad que falte  para cuadrar el termino de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado factorizado, unido con el ultimo termino se obtendrá como resultado una diferencia de cuadrados.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: 

Ejemplo 3:

CASO 6

Trinomio de la forma:

Son las ecuaciones que cumplen las siguientes condiciones:

1. El coeficiente del primer termino es 1
2. El primer termino es una letra cualquiera al cuadrado
3. El segundo termino tiene la mima letra que el exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa
4. El tercer termino es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo termino y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa 

Ejemplo 1: 

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 7

Trinomio de la forma

Son las ecuaciones que cumplen las siguientes condiciones:

1. El primer termino tiene coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
2. El segundo termino tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El tercer termino es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 primero y segundo termino.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 8

Cubo perfecto de binomios 

Se tienen 3 términos. el primer termino  tiene un coeficiente de 1, la letra del segundo termino tiene la mitad del exponente del termino anterior y el tercer termino independiente.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 9:

Suma o diferencia de cubos perfectos

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

CASO 10:

Suma o diferencia de dos potencias iguales 

Se hacen las siguientes operaciones:

Operaciones de divisibilidad de expresiones de la forma an +- bn

1. an-bn es divisible de a-b siendo n par o impar
2. an-bn es divisible por a+b siendo n impar
3. an-bn es divisible por a + b siendo n es par
4. an+bn nunca es divisible por a-b

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Publicado por Jhoan Suarez

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

POTENCIACIÓN

Es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales, el cual lo conforma la base, la potencia y el exponente.

• Base: Es el numero al cual multiplicaremos por si mismo las veces que lo indique el exponente.
• Exponente: Es el numero que indica las veces que sera multiplicado la base.
• Potencia: Es el resultado obtenido al desarrollar la multiplicación.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

EJEMPLOS

EXPONENTE DE SIGNO NEGATIVO

RADICACIÓN

La radicación de orden n de un número a denominado radicando, es cualquier numero b llamado raíz enésima elevado a la n indice de la raíz.

La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicacion. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

• Radical: Símbolo representativo de la raíz.
• Indice de la Raíz: Número que sirve para indicar el grado de la raíz.
• Radicando: Número del que se extrae la raíz y se coloca debajo del radical.

                                      

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

EJEMPLOS

*SI DENTRO DE LA RAÍZ SE MULTIPLICA O DIVIDE, SE PUEDEN SEPARAR RAÍCES.

*NO SE PUEDEN SEPARA LAS RAÍCES SI SE ESTÁN SUMANDO O RESTANDO.

Publicado por Jenny Millán